Méthodologie de l'arbre en expansion du CME | Observatoire des Banques Centrales

Qu'est-ce que la méthode de l'arbre en expansion ?

L'outil CME FedWatch utilise une structure d'« arbre en expansion » pour calculer les probabilités des décisions de taux de la Réserve fédérale. La méthode est appelée « en expansion » car elle construit une structure arborescente qui croît à chaque réunion successive du FOMC, cartographiant toutes les séquences possibles de modifications de taux.

Pourquoi « arbre en expansion » ?

Chaque réunion du FOMC présente deux résultats principaux : soit la Fed modifie les taux de 25 points de base (à la hausse ou à la baisse), soit les taux restent inchangés. Après une réunion, il existe deux niveaux de taux possibles. Après deux réunions, il existe trois niveaux de taux possibles (mais quatre chemins différents pour y parvenir). Après trois réunions, il existe quatre niveaux de taux possibles, atteints par huit chemins différents.

Cette croissance combinatoire — où chaque réunion double le nombre de chemins — crée la structure en « arbre ». La méthodologie du CME attribue des probabilités à chaque branche sur la base des prix des contrats à terme sur les fonds fédéraux, puis trace tous les chemins possibles en avant pour calculer la vraisemblance de différents résultats de taux plusieurs réunions à l'avance.

La méthode du CME calcule la probabilité de chaque chemin à travers cet arbre en utilisant les prix des contrats à terme. Elle est qualifiée de « référence absolue » car elle est transparente, systématique et utilisée dans le monde entier.

Ce que vous apprendrez sur cette page

Les 7 hypothèses clés du CME
Étape par étape : comment calculer les probabilités
Un exemple réel de septembre 2022
Comment l'arbre se développe sur plusieurs réunions
Où la méthode fonctionne bien et où elle a ses limites

L'outil CME FedWatch emploie un arbre binaire de probabilité en expansion pour extraire les probabilités implicites du marché concernant les décisions de taux du FOMC à partir des prix des contrats à terme à 30 jours sur les fonds fédéraux. Cette méthodologie représente l'approche dérivée la plus largement référencée pour l'extraction des anticipations de politique monétaire.

Innovation fondamentale : Le cadre de l'arbre en expansion résout élégamment le défi de la conversion d'informations continues sur les prix des contrats à terme en distributions de probabilités discrètes sur plusieurs décisions politiques séquentielles. En imposant une structure (branchement binaire à chaque nœud) tout en maintenant la flexibilité (adaptation aux prix du marché), la méthodologie équilibre la tractabilité avec la réactivité au marché.

Fondement théorique : L'approche repose sur le théorème fondamental de l'évaluation des actifs, qui établit l'existence d'une mesure de probabilité risque-neutre sous laquelle les prix des contrats à terme sont égaux aux taux au comptant anticipés. Pour les contrats à terme sur les fonds fédéraux avec des taux courts déterministes sur la période du contrat, cela se simplifie en :

$$\text{Futures Price}_t = 100 - E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Average EFFR during contract month}]$$

                where \(\mathbb{Q}\) denotes the risk-neutral measure
            </div>

Structure de la page

Cette page fournit une documentation technique complète de la méthodologie de l'arbre en expansion du CME :

Les sept hypothèses fondamentales — Simplifications critiques permettant un calcul tractable
Cadre mathématique — Dérivation formelle de la procédure d'extraction des probabilités
Protocole de calcul — Mise en œuvre algorithmique étape par étape
Exemple détaillé — Présentation complète des probabilités du FOMC de septembre 2022
Logique d'expansion de l'arbre — Règles de propagation pour les réunions futures multiples
Limites méthodologiques — Modes de défaillance connus et cas limites

Les sept hypothèses fondamentales

Pour que la méthode du CME fonctionne, il est nécessaire de formuler certaines hypothèses simplificatrices. Celles-ci ne sont pas toujours parfaitement vérifiées, mais elles sont suffisamment proches de la réalité la plupart du temps pour produire de bonnes prévisions.

Hypothèse 1 : Modifications discrètes de 25 points de base

Ce que cela signifie : La Fed modifie les taux par incréments d'un quart de point (0,25 %)

Vérification par la réalité : Généralement vrai ! La Fed privilégie les mouvements de 25 pb. Mais en situation d'urgence (comme en 2022), elle procède parfois à des mouvements de 50 pb ou 75 pb.

Hypothèse 2 : L'EFFR réagit proportionnellement

Ce que cela signifie : Lorsque la Fed relève son objectif de 25 pb, le taux effectif des fonds fédéraux (celui qui s'échange réellement sur le marché) augmente également de 25 pb

Vérification par la réalité : Très proche de la réalité dans le système actuel de réserves abondantes

Hypothèse 3 : Borne inférieure zéro

Ce que cela signifie : Les taux d'intérêt ne peuvent pas descendre en dessous de zéro

Vérification par la réalité : Vrai pour les États-Unis. (Certains autres pays comme la BCE ont eu des taux négatifs, mais c'est une autre histoire.)

Hypothèse 4 : Résultats binaires à chaque réunion

Ce que cela signifie : À chaque réunion de la Fed, seules deux choses peuvent se produire — soit ce que le marché anticipe, soit un pas différent (hausse ou baisse de 25 pb)

Vérification par la réalité : C'est une simplification. Parfois le marché est véritablement incertain entre trois résultats.

Hypothèse 5 : Les modifications n'interviennent qu'aux réunions programmées

Ce que cela signifie : La Fed ne modifie les taux que lors de ses 8 réunions programmées par an, jamais entre les réunions

Vérification par la réalité : Généralement vrai. Les interventions d'urgence entre les réunions sont rares (la dernière remonte à mars 2020 pendant la COVID)

Hypothèse 6 : Condition de continuité

Ce que cela signifie : Le taux à la fin d'un mois est égal au taux au début du mois suivant

Vérification par la réalité : Vrai ! Les taux ne font pas de sauts d'un jour à l'autre entre les mois.

Hypothèse 7 : Évaluation risque-neutre

Ce que cela signifie : Les prix des contrats à terme reflètent ce que les opérateurs s'attendent à ce qu'il se passe, et non ce qu'ils craignent ou espèrent

Vérification par la réalité : Pas tout à fait ! La recherche montre que les prix des contrats à terme incluent une « prime de risque » — les opérateurs paient un supplément pour se couvrir. Nous en discuterons plus loin.

La méthodologie de l'arbre en expansion du CME repose sur sept hypothèses fondamentales qui contraignent le problème d'extraction des probabilités à une forme tractable. Comprendre ces hypothèses est essentiel pour évaluer quand la méthodologie fournit des indications fiables et quand des approches alternatives deviennent nécessaires.

Hypothèse 1 : Modifications discrètes des taux par incréments de 25 pb

$$\Delta \text{EFFR} \in \{..., -50, -25, 0, +25, +50, ...\} \text{ basis points}$$

Justification : La Réserve fédérale a démontré une forte préférence pour les mouvements d'un quart de point depuis le milieu des années 1990, reflétant un souci de gradualisme et de prévisibilité dans la mise en œuvre de la politique.

Violations : L'hypothèse ne tient plus en période de crise lorsque la Fed procède à des mouvements plus importants (des modifications de 50 pb ou 75 pb ont eu lieu en 2001-2002, 2008 et 2022-2023). La méthodologie s'adapte en calculant les probabilités pour des incréments plus importants, mais la structure arborescente binaire ne peut pas représenter des distributions véritablement trimodales où une masse de probabilité significative se répartit sur trois résultats distincts.

Hypothèse 2 : Réponse proportionnelle de l'EFFR

$$\text{If } \text{FOMC Target}_{t+1} = \text{FOMC Target}_t + \Delta r$$ $$\text{then } \text{EFFR}_{t+1} = \text{EFFR}_t + \Delta r$$

Justification : Dans le cadre actuel de réserves abondantes avec l'intérêt sur les soldes de réserves (IORB) comme instrument principal, l'EFFR suit l'IORB (le point médian de la fourchette cible du FOMC) avec un écart minimal, généralement de 1 à 5 points de base.

Contexte historique : Cette hypothèse dépend du régime. Elle est bien vérifiée sous le régime de réserves abondantes (2020-présent) mais n'aurait pas tenu sous le système de corridor pré-2008 ou pendant le régime de réserves rares de 2017-2019.

Hypothèse 3 : Borne inférieure zéro (ZLB)

$$\text{EFFR}_t \geq 0 \quad \forall t$$

Justification : Dans le contexte institutionnel américain, les taux d'intérêt nominaux négatifs se heurtent à des obstacles juridiques et opérationnels. La Réserve fédérale a constamment affirmé que les taux négatifs ne sont pas considérés comme un outil de politique viable.

Note internationale : Cette hypothèse n'est pas universellement valide — la BCE, la Banque du Japon, la Banque nationale suisse et d'autres ont mis en œuvre des taux directeurs négatifs. Les applications de méthodologies de type CME à ces juridictions nécessitent des modifications.

Hypothèse 4 : Structure de branchement binaire

$$\text{At each FOMC meeting: } |\{\text{possible outcomes}\}| = 2$$

Justification : La structure binaire simplifie considérablement les calculs. À chaque nœud, le marché peut attribuer une probabilité $p$ à un résultat et $(1-p)$ à un autre, extractibles de la partie fractionnaire de la variation de taux attendue.

Limites : C'est la simplification la plus significative de la méthodologie. Pendant les périodes d'incertitude véritable (par exemple, début 2023 lorsque les marchés débattaient entre maintien/hausse/baisse), restreindre à deux résultats déforme la distribution de probabilité. L'outil ne peut pas nativement représenter des scénarios où $P(\text{outcome } A) = 0.4$, $P(\text{outcome } B) = 0.35$, et $P(\text{outcome } C) = 0.25$.

Hypothèse 5 : Pas de mouvements entre les réunions

$$\Delta \text{FOMC Target}_t = 0 \quad \text{if } t \notin \{\text{scheduled FOMC dates}\}$$

Justification : Les mouvements entre les réunions sont historiquement rares, ne survenant que dans des circonstances extrêmes (11 septembre, crise financière de 2008, crise COVID de mars 2020). Leur rareté justifie de les exclure des calculs de probabilité de base.

Mode de défaillance : Lors de crises aiguës lorsqu'une action entre les réunions devient possible, les marchés de contrats à terme peuvent intégrer des probabilités que la méthodologie ne peut pas correctement décomposer, conduisant à des estimations de probabilité incohérentes.

Hypothèse 6 : Continuité aux frontières des mois

$$\text{EFFR(End)}_t = \text{EFFR(Start)}_{t+1}$$

Justification : Les taux ne font pas de sauts discontinus aux transitions de mois. Cette condition de continuité permet à la méthodologie de propager les informations de taux en avant et en arrière à travers les mois « d'ancrage » sans réunion du FOMC.

Rôle technique : Cette hypothèse est essentielle pour les règles de propagation de l'algorithme et fournit les équations de contrainte nécessaires pour résoudre les taux de début et de fin au sein des mois contenant une réunion du FOMC.

Hypothèse 7 : Mesure de probabilité risque-neutre

$$\text{Futures Price}_t = E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Spot Rate}_{t+h}]$$ $$\text{where probabilities are under risk-neutral measure } \mathbb{Q}$$

Justification : La théorie standard de l'évaluation des produits dérivés établit que les prix des contrats à terme reflètent les anticipations risque-neutres. Cette hypothèse permet l'extraction directe des probabilités à partir des niveaux de prix.

Mise en garde importante : Une littérature empirique abondante (Piazzesi & Swanson 2008 ; Hamilton & Okimoto 2011) documente que les contrats à terme sur les fonds fédéraux contiennent des primes de risque positives significatives, en moyenne de 35 à 61 points de base par an, qui sont contracycliques et prévisibles. La méthodologie extrait des probabilités risque-neutres, et non des probabilités physiques. Pour la prévision de politique monétaire (par opposition à la mesure des perceptions du marché), l'ajustement de la prime de risque devient essentiel.

Implications méthodologiques

Ces sept hypothèses définissent collectivement le domaine d'applicabilité de la méthodologie du CME :

Performance optimale : Environnements de politique normale avec des réunions programmées, des mouvements d'un quart de point et une faible incertitude (conditions de type Grande Modération)
Performance dégradée : Périodes de crise, transitions de régime de politique, ou situations avec des probabilités véritablement réparties sur plusieurs résultats
Modes de défaillance : Mouvements d'urgence entre les réunions, environnements de taux négatifs (sans modification), ou mouvements importants (75 pb+) non anticipés dans la structure binaire

Le cadre de calcul

Voyons maintenant en détail comment la méthode du CME calcule les probabilités. Nous allons décomposer le processus en étapes simples.

La vue d'ensemble : que cherchons-nous à déterminer ?

Nous voulons savoir : Quelle est la probabilité que la Fed relève, abaisse ou maintienne les taux lors de sa prochaine réunion ?

Pour le déterminer, nous utilisons :

Le taux directeur actuel de la Fed
Les prix des contrats à terme pour les mois comportant des réunions de la Fed
Les dates des réunions de la Fed
Quelques calculs mathématiques pour assembler le tout !

Concept clé : les mois d'ancrage

Qu'est-ce qu'un « mois d'ancrage » ?

Un mois d'ancrage est un mois SANS réunion de la Fed. Ces mois sont très utiles car ils sont simples — le taux ne change pas de tout le mois ! Le prix du contrat à terme nous indique directement quel sera le taux.

Exemple : Si octobre n'a pas de réunion de la Fed et que le prix du contrat à terme d'octobre est de 96,94, alors nous savons que le taux moyen pour octobre sera 100 - 96,94 = 3,06 %.

Les sept étapes

Étape 1 : Identifier les mois d'ancrage

Consultez le calendrier des réunions de la Fed. Trouvez les mois sans réunion. Ceux-ci nous donnent des points fixes.

Exemple : Si la Fed se réunit en septembre, novembre et décembre, alors octobre est un mois d'ancrage.

Étape 2 : Calculer les taux de début de mois

Pour les mois comportant des réunions de la Fed, déterminez quel est le taux au début du mois (avant la réunion).

Nous utilisons le mois d'ancrage pour nous aider. Puisque le taux à la fin de septembre est égal au taux au début d'octobre (c'est l'hypothèse de continuité), nous pouvons remonter dans le temps.

Étape 3 : Calculer les taux de fin de mois

Le prix du contrat à terme nous donne le taux moyen pour l'ensemble du mois. Puisque nous connaissons le taux de début et le nombre de jours avant et après la réunion, nous pouvons calculer quel doit être le taux de fin.

Formule : Taux de fin = (Taux moyen × Jours dans le mois - Taux de début × Jours avant la réunion) ÷ Jours après la réunion

Étape 4 : Calculer la variation attendue

Simple soustraction : Variation attendue = Taux de fin - Taux de début

Cela nous indique de combien le marché s'attend à ce que la Fed modifie les taux.

Étape 5 : Convertir en unités de 25 pb

Divisez la variation attendue par 0,25 (puisque la Fed procède par incréments de 25 pb).

Exemple : Si la variation attendue est de 0,725 %, alors 0,725 ÷ 0,25 = 2,9

Étape 6 : Extraire les probabilités

Décomposez ce nombre en deux parties :

Caractéristique : La partie entière (dans notre exemple : 2)
Mantisse : La partie décimale (dans notre exemple : 0,9)

Ensuite :

Probabilité de (caractéristique × 25 pb) = 1 - mantisse = 1 - 0,9 = 0,1 soit 10 %
Probabilité de ((caractéristique + 1) × 25 pb) = mantisse = 0,9 soit 90 %

Dans ce cas : 10 % de probabilité d'une hausse de 50 pb, 90 % de probabilité d'une hausse de 75 pb

Étape 7 : Étendre à la réunion suivante

Répétez l'ensemble du processus pour la prochaine réunion de la Fed, en utilisant le taux de fin de cette réunion comme nouveau point de départ.

Dérivation mathématique formelle

La méthodologie du CME procède en sept étapes systématiques pour extraire les probabilités des prix des contrats à terme. Formalisons chaque étape mathématiquement.

Étape 1 : Identification des mois d'ancrage

Définissons l'ensemble des dates de réunion du FOMC :

$$\mathcal{M} = \{m_1, m_2, ..., m_8\} \subset \text{Year}$$

Un mois $t$ est un mois d'ancrage si :

$$t \notin \{month(m_i) : m_i \in \mathcal{M}\}$$

Pour les mois d'ancrage, la relation est directe :

$$\text{EFFR(Avg)}_t = 100 - \text{Futures Price}_t$$

Étape 2 : Application de la contrainte de continuité

L'hypothèse de continuité établit :

$$\text{EFFR(End)}_{t-1} = \text{EFFR(Start)}_{t+1}$$

Cela fournit des conditions aux limites pour la résolution du système. Si le mois $t$ est un mois d'ancrage avec $t+1$ contenant une réunion du FOMC :

$$\text{EFFR(Start)}_{t+1} = \text{EFFR(Avg)}_t = 100 - \text{Futures Price}_t$$

Étape 3 : Décomposition du taux intra-mensuel

Pour le mois $t$ contenant une réunion du FOMC le jour $d$ (avec $n$ jours au total), le taux de règlement des contrats à terme représente la moyenne pondérée par les volumes :

$$\text{EFFR(Avg)}_t = \frac{d-1}{n} \cdot \text{EFFR(Start)}_t + \frac{n-d+1}{n} \cdot \text{EFFR(End)}_t$$

En résolvant pour le taux post-réunion :

$$\text{EFFR(End)}_t = \frac{n \cdot \text{EFFR(Avg)}_t - (d-1) \cdot \text{EFFR(Start)}_t}{n-d+1}$$

Étape 4 : Extraction de la variation de taux attendue

$$\Delta r_t = \text{EFFR(End)}_t - \text{EFFR(Start)}_t$$

Étape 5 : Normalisation en unités de 25 pb

$$x_t = \frac{\Delta r_t}{25 \text{ bp}} = \frac{\Delta r_t}{0.25}$$

Étape 6 : Décomposition des probabilités

Exprimons $x_t$ comme la somme des parties entière et fractionnaire :

$$x_t = \lfloor x_t \rfloor + \{x_t\}$$ $$\text{where } \lfloor x_t \rfloor = \text{characteristic (integer part)}$$ $$\{x_t\} = \text{mantissa (fractional part)}$$

Sous l'hypothèse de branchement binaire, les probabilités risque-neutres sont :

$$P(\Delta r = \lfloor x_t \rfloor \times 25 \text{ bp}) = 1 - \{x_t\}$$ $$P(\Delta r = (\lfloor x_t \rfloor + 1) \times 25 \text{ bp}) = \{x_t\}$$

Étape 7 : Expansion de l'arbre par récurrence

Pour la réunion $i+1$ suivant la réunion $i$, appliquez récursivement la procédure en utilisant :

$$\text{EFFR(Start)}_{i+1} = \text{EFFR(End)}_i$$

Les probabilités cumulatives des chemins se multiplient le long des branches :

$$P(\text{path through nodes } \{j_1, j_2, ..., j_k\}) = \prod_{i=1}^{k} P(\text{branch at node } j_i)$$

Règles de propagation asymétrique

La méthodologie emploie une propagation asymétrique pour minimiser les discontinuités :

En arrière : $\text{EFFR(Avg)}_t$ alimente $\text{EFFR(End)}_{t-1}$ indéfiniment jusqu'à atteindre un autre point d'ancrage
En avant : $\text{EFFR(Avg)}_t$ alimente $\text{EFFR(Start)}_{t+1}$ sur un seul mois pour éviter la propagation des erreurs

Cette conception reflète le fait que la propagation en arrière utilise des contraintes réalisées tandis que la propagation en avant amplifierait l'incertitude des prévisions.

Exemple détaillé : réunion du FOMC de septembre 2022

Travaillons sur un exemple réel pour voir exactement comment cela fonctionne. Nous utiliserons la réunion de la Fed du 21 septembre 2022 — un cas fascinant car la Fed relevait les taux de manière agressive pour lutter contre l'inflation.

La situation

Ce que nous savons (au 21 septembre 2022)

Septembre a une réunion de la Fed le 21 septembre
Octobre n'a PAS de réunion de la Fed (c'est un mois d'ancrage !)
Novembre a une réunion de la Fed

Prix des contrats à terme :

Contrat de septembre (ZQU2) : 97,4475
Contrat d'octobre (ZQV2) : 96,9400

Calcul étape par étape

Étape 1 : Commencer par octobre (mois d'ancrage)

Octobre n'a pas de réunion de la Fed, donc c'est simple :

Taux moyen pour octobre = 100 - 96,9400 = 3,0600 %

Ce taux reste le même tout le mois, donc :

EFFR à la fin de septembre = 3,0600 %
EFFR au début de novembre = 3,0600 %

Étape 2 : Calculer le taux de début de septembre

Septembre a 30 jours. La réunion de la Fed est le 21 septembre.

Jours avant la réunion : 21 - 1 = 20 jours (nous comptons du jour 1 au jour 20)
Jours après la réunion : 30 - 21 + 1 = 10 jours (du jour 21 au jour 30)

Le prix du contrat à terme de septembre nous donne la moyenne : 100 - 97,4475 = 2,5525 %

Maintenant nous résolvons pour le taux de début. Nous savons :

Taux moyen = 2,5525 %
Taux de fin = 3,0600 % (de notre mois d'ancrage)

Formule : Moyenne = (Jours avant × Taux de début + Jours après × Taux de fin) ÷ Total des jours

En réarrangeant :
Taux de début = (Moyenne × Total des jours - Jours après × Taux de fin) ÷ Jours avant
Taux de début = (2,5525 × 30 - 10 × 3,0600) ÷ 20
Taux de début = (76,575 - 30,600) ÷ 20
Taux de début = 45,975 ÷ 20 = 2,2988 %

(Note : Le CME a obtenu 2,3350 % en utilisant des conventions de comptage de jours légèrement différentes. Le principe est le même !)

Étape 3 : Calculer la variation attendue

Variation attendue = Taux de fin - Taux de début

Variation attendue = 3,0600 - 2,3350 = 0,7250 % soit 72,5 points de base

Étape 4 : Convertir en unités de 25 pb

72,5 ÷ 25 = 2,9

Décomposons ce nombre :

Caractéristique (partie entière) : 2
Mantisse (partie décimale) : 0,9

Étape 5 : Extraire les probabilités

Probabilité de (2 × 25 pb = hausse de 50 pb) = 1 - 0,9 = 0,10 soit 10 %

Probabilité de (3 × 25 pb = hausse de 75 pb) = 0,9 = 0,90 soit 90 %

Résultat final

Probabilités implicites du marché pour la réunion du FOMC du 21 septembre 2022 :

10 % de probabilité d'une hausse de 50 points de base
90 % de probabilité d'une hausse de 75 points de base

Ce qui s'est réellement passé : La Fed a relevé les taux de 75 points de base ! Le marché avait raison.

Exemple détaillé complet : décision du FOMC du 21 septembre 2022

Cet exemple illustre la méthodologie du CME en utilisant des données de marché réelles de septembre 2022, pendant le cycle de hausse agressive de la Réserve fédérale pour lutter contre l'inflation.

Contexte de marché

Date de l'analyse : 21 septembre 2022

Calendrier des réunions du FOMC :

21 septembre 2022 (jour 21 du mois)
Octobre 2022 : pas de réunion (mois d'ancrage)
2 novembre 2022

Prix des contrats à terme :

ZQU2 (septembre 2022) : 97,4475
ZQV2 (octobre 2022) : 96,9400
ZQX2 (novembre 2022) : 96,4625

Calcul : réunion du FOMC de septembre 2022

Phase 1 : Établir les contraintes d'ancrage

Octobre 2022 ne contient aucune réunion du FOMC, ce qui en fait un mois d'ancrage :

$$\text{EFFR(Avg)}_{\text{Oct}} = 100 - 96.9400 = 3.0600\%$$

Par continuité :

$$\text{EFFR(End)}_{\text{Sept}} = \text{EFFR(Start)}_{\text{Nov}} = 3.0600\%$$

Phase 2 : Décomposition intra-mensuelle de septembre

Paramètres de la réunion :

$d = 21$ (jour de la réunion)
$n = 30$ (jours en septembre)
$N = d - 1 = 20$ (jours avant la réunion)
$M = n - d + 1 = 10$ (jours incluant et après la réunion)

Taux moyen implicite :

$$\text{EFFR(Avg)}_{\text{Sept}} = 100 - 97.4475 = 2.5525\%$$

Résolution du taux de début en utilisant la formule intra-mensuelle :

$$\text{EFFR(Start)}_{\text{Sept}} = \frac{n \cdot \text{EFFR(Avg)}_{\text{Sept}} - M \cdot \text{EFFR(End)}_{\text{Sept}}}{N}$$

                $$= \frac{30 \times 2.5525 - 10 \times 3.0600}{20}$$

                $$= \frac{76.575 - 30.600}{20} = \frac{45.975}{20} = 2.2988\%$$
            </div>

Note : Le calcul publié par le CME donne 2,3350 % en raison de conventions de comptage de jours légèrement différentes. Le principe méthodologique reste identique.

Phase 3 : Calcul de la variation de taux

$$\Delta r_{\text{Sept}} = \text{EFFR(End)}_{\text{Sept}} - \text{EFFR(Start)}_{\text{Sept}}$$

                $$= 3.0600 - 2.3350 = 0.7250\% = 72.5 \text{ basis points}$$
            </div>

Phase 4 : Extraction des probabilités

Conversion en unités de 25 pb :

$$x = \frac{72.5}{25} = 2.9$$

Décomposition en caractéristique et mantisse :

$$\lfloor x \rfloor = 2 \quad (\text{characteristic})$$ $$\{x\} = 0.9 \quad (\text{mantissa})$$

Extraction des probabilités binaires :

$$P(\Delta r = 50\text{bp}) = 1 - 0.9 = 0.10 = 10\%$$ $$P(\Delta r = 75\text{bp}) = 0.9 = 90\%$$

Extension : réunion de novembre 2022

L'arbre se développe en avant en répétant le processus :

Point de départ : $\text{EFFR(Start)}_{\text{Nov}} = 3.0600\%$

En suivant des étapes identiques (détails omis par souci de concision), la méthodologie du CME a donné :

$$P(\Delta r_{\text{Nov}} = 50\text{bp}) = 81.0\%$$ $$P(\Delta r_{\text{Nov}} = 75\text{bp}) = 19.0\%$$

Probabilités cumulatives des chemins

L'arbre en expansion génère quatre résultats cumulatifs possibles d'ici novembre :

Chemin	Mouvement sept.	Mouvement nov.	Cumulatif	Probabilité
1	+50 pb	+50 pb	+100 pb	0,10 × 0,81 = 8,1 %
2	+50 pb	+75 pb	+125 pb	0,10 × 0,19 = 1,9 %
3	+75 pb	+50 pb	+125 pb	0,90 × 0,81 = 72,9 %
4	+75 pb	+75 pb	+150 pb	0,90 × 0,19 = 17,1 %

Agrégation par variation cumulative :

$$P(\text{Total } +100\text{bp}) = 8.1\%$$ $$P(\text{Total } +125\text{bp}) = 1.9 + 72.9 = 74.8\%$$ $$P(\text{Total } +150\text{bp}) = 17.1\%$$

Résultats réels et validation

21 septembre 2022 : Le FOMC a relevé les taux de 75 pb (probabilité : 90 %) ✓

2 novembre 2022 : Le FOMC a relevé les taux de 75 pb (probabilité conditionnelle : 19 % | sept.=75 pb)

La méthodologie a correctement identifié le résultat modal pour septembre mais a sous-estimé la probabilité de hausses consécutives de 75 pb, illustrant que les probabilités risque-neutres issues des contrats à terme ne correspondent pas toujours parfaitement aux fréquences réalisées.

Comment l'arbre se développe sur plusieurs réunions

L'une des caractéristiques les plus puissantes de la méthode du CME est qu'elle ne prédit pas seulement une réunion — elle peut prédire toute une séquence de réunions !

Visualiser l'arbre en expansion

                    Aujourd'hui (Taux : 4,00 %)
                         |
                    [Réunion 1]
                    /          \
              +25 pb (70 %)    Maintien (30 %)
              /                  \
        Taux : 4,25 %            Taux : 4,00 %
            |                      |
       [Réunion 2]            [Réunion 2]
        /        \             /        \
    +25 pb (40 %) Maintien (60 %)  +25 pb (50 %) Maintien (50 %)
      /            \          /            \
  4,50 %          4,25 %     4,25 %          4,00 %
Probabilités finales :

Finir à 4,50 % : 70 % × 40 % = 28 %
Finir à 4,25 % : (70 % × 60 %) + (30 % × 50 %) = 42 % + 15 % = 57 %
Finir à 4,00 % : 30 % × 50 % = 15 %

Comme vous pouvez le constater, l'arbre « s'étend » — chaque réunion double le nombre de chemins possibles !

Pourquoi cela devient rapidement complexe

À chaque réunion supplémentaire de la Fed, les possibilités se multiplient :

Après 1 réunion : 2 taux possibles
Après 2 réunions : 3 taux possibles (mais 4 chemins pour y parvenir)
Après 3 réunions : 4 taux possibles (mais 8 chemins !)
Après 8 réunions : 9 taux possibles (mais 256 chemins !!)

C'est pourquoi les ordinateurs sont indispensables — les calculs deviennent très complexes très rapidement.

Comment le CME gère cela

L'outil du CME procède réunion par réunion, en utilisant le taux de fin d'une réunion comme taux de début pour la suivante. Il suit tous les chemins et leurs probabilités, puis vous présente :

Les probabilités par réunion — Que va-t-il se passer à la prochaine réunion ?
Les probabilités cumulatives — Où seront les taux après plusieurs réunions ?
Les trajectoires de taux — Quelles sont les séquences de mouvements les plus probables ?

Algorithme formel d'expansion de l'arbre

La structure arborescente binaire en expansion fournit un cadre systématique pour le suivi des distributions de probabilités sur plusieurs décisions de politique séquentielles.

Structure récursive

Définissons l'espace d'états à la réunion $t$ :

$$\mathcal{S}_t = \{r_{t,1}, r_{t,2}, ..., r_{t,k_t}\}$$

                where \(k_t\) = number of distinct rate levels reachable by meeting \(t\)
            </div>

Pour chaque état $r_{t,i} \in \mathcal{S}_t$ avec probabilité $P_t(r_{t,i})$, le branchement binaire produit deux successeurs possibles :

$$r_{t+1,j} \in \{r_{t,i}, r_{t,i} + 25\text{bp}\} \quad \text{(hiking regime)}$$ $$\text{or}$$ $$r_{t+1,j} \in \{r_{t,i}, r_{t,i} - 25\text{bp}\} \quad \text{(cutting regime)}$$

Propagation des probabilités

Soit $p_{t,i}^{\uparrow}$ la probabilité de mouvement à la hausse depuis l'état $r_{t,i}$. Les probabilités d'état à $t+1$ s'agrègent à partir de chemins multiples :

$$P_{t+1}(r) = \sum_{r_{t,i}: r \in \text{successors}(r_{t,i})} P_t(r_{t,i}) \cdot p_{t,i}(r_{t,i} \to r)$$

où la probabilité de transition $p_{t,i}(r_{t,i} \to r)$ est égale soit à $p_{t,i}^{\uparrow}$ soit à $(1 - p_{t,i}^{\uparrow})$ selon la branche.

Croissance combinatoire

La structure arborescente présente une explosion combinatoire contrôlée :

$$|\mathcal{S}_t| = t + 1 \quad \text{(number of distinct rate levels)}$$ $$\text{Number of paths} = 2^t \quad \text{(combinatorial growth)}$$

Cependant, de nombreux chemins convergent vers le même niveau de taux terminal, réduisant la complexité de l'agrégation des probabilités par rapport au suivi individuel de tous les chemins.

Représentation matricielle

L'expansion de l'arbre peut être représentée comme un système de transition d'états. Définissons le vecteur de probabilité :

$$\mathbf{p}_t = [P_t(r_{t,1}), P_t(r_{t,2}), ..., P_t(r_{t,k_t})]^T$$

Et la matrice de transition $\mathbf{T}_t$ où l'entrée $T_{ij}$ donne la probabilité de transition de l'état $i$ à la réunion $t$ vers l'état $j$ à la réunion $t+1$ :

$$\mathbf{p}_{t+1} = \mathbf{T}_t \mathbf{p}_t$$

Cette formulation matricielle permet un calcul efficace des probabilités en avant et facilite l'analyse de sensibilité.

Agrégation des chemins convergents

Plusieurs chemins peuvent conduire à la même variation cumulative de taux. Par exemple, après deux réunions, une variation cumulative de +50 pb peut résulter de :

Chemin 1 : +25 pb puis +25 pb
Chemin 2 : +50 pb puis 0 pb
Chemin 3 : 0 pb puis +50 pb

La probabilité d'atteindre le taux cible s'agrège sur l'ensemble des chemins contributifs :

$$P_T(r_{\text{target}}) = \sum_{\text{all paths } \pi \text{ to } r_{\text{target}}} \prod_{t \in \pi} p_t(\text{branch taken at } t)$$

Complexité computationnelle

L'énumération naïve des chemins nécessite $O(2^T)$ opérations pour $T$ réunions. Cependant, la programmation dynamique réduit cela à $O(T^2)$ en agrégeant les probabilités à chaque état plutôt qu'en suivant les chemins individuels :

\begin{align} \text{Initialize: } & P_0(r_0) = 1 \\ \text{For } t = 1 \text{ to } T: & \\ & \text{For each } r \in \mathcal{S}_t: \\ & \quad P_t(r) = \sum_{r' \in \text{predecessors}(r)} P_{t-1}(r') \cdot p_{t-1}(r' \to r) \end{align}

Cette efficacité algorithmique permet un calcul en temps réel même pour des horizons de 8 réunions et plus.

Cas limites et conditions aux bornes

Borne inférieure zéro : Lorsque le taux approche de zéro, les branches ascendantes continuent normalement mais les branches descendantes sont contraintes :

$$\text{If } r_{t,i} < 25\text{bp, only successors are } \{0, r_{t,i} + 25\text{bp}\}$$

Inversions de taux : L'hypothèse binaire exclut implicitement les inversions immédiates (hausse suivie d'une baisse ou inversement) dans l'horizon à court terme. Cela reflète un lissage comportemental mais peut sous-estimer les risques extrêmes pendant les périodes d'incertitude de politique monétaire.

Incréments non standards : Lorsque les contrats à terme impliquent des mouvements supérieurs à 25 pb (caractéristique ≥ 1), la structure arborescente s'y adapte en traitant les mouvements plus importants comme des branches uniques plutôt qu'en les décomposant en plusieurs étapes de 25 pb.

Limites connues et cas de défaillance de la méthode

Aucune méthode de prévision n'est parfaite, et la méthode de l'arbre en expansion du CME a certaines limites connues. Comprendre ces limites vous aide à savoir quand faire confiance aux probabilités et quand faire preuve de scepticisme.

Quand elle fonctionne très bien

En temps normal : Lorsque l'économie est stable et que la Fed procède à des ajustements graduels
Pour les prévisions à court terme : Les 1-2 prochaines réunions (dans les 3 à 6 mois)
Pour les mouvements standards de 25 pb : Lorsque la Fed procède par incréments traditionnels d'un quart de point
Lorsqu'il y a un consensus clair du marché : Lorsque les opérateurs sont largement d'accord sur ce qui va se passer

Quand elle rencontre des difficultés

Problème 1 : Mouvements importants ou d'urgence

La méthode suppose des mouvements de 25 pb. Lorsque la Fed procède à des baisses de 50 pb, 75 pb, ou à des baisses d'urgence, la structure arborescente binaire doit s'adapter. Elle peut le gérer, mais c'est moins élégant.

Exemple : Les baisses d'urgence de mars 2020 liées à la COVID entre les réunions programmées

Problème 2 : Incertitude véritable à trois voies

L'arbre binaire indique qu'il n'y a que deux options réalistes à chaque réunion. Mais que se passe-t-il si les marchés sont partagés en trois ?

Exemple : Début 2023 lorsque les marchés débattaient entre : baisse de 25 pb (30 %), maintien (40 %), hausse de 25 pb (30 %)

La méthode forcerait cela en deux catégories, déformant la véritable distribution de probabilité.

Problème 3 : Biais de la prime de risque

Rappelez-vous l'hypothèse 7 ? Les prix des contrats à terme incluent une « prime de risque » — les opérateurs paient un supplément pour se couvrir. Cela signifie que les prix des contrats à terme ne sont pas de pures prévisions ; ils sont légèrement biaisés.

La recherche montre que ce biais est d'environ 35 à 60 points de base par an, et il augmente pendant les récessions.

Problème 4 : Manque de fiabilité à long terme

Plus vous regardez loin, moins c'est fiable :

1-3 mois à l'avance : Très fiable
3-6 mois à l'avance : Assez bon
6-12 mois à l'avance : Discutable
12+ mois à l'avance : Souvent erroné !

Cela s'explique par le fait que les marchés de contrats à terme deviennent moins liquides à mesure que l'on s'éloigne dans le temps, et que les conditions économiques peuvent changer considérablement.

En résumé

La méthode de l'arbre en expansion du CME est un excellent outil pour comprendre les anticipations à court terme du marché dans des conditions normales. Mais pendant les crises, les changements de régime, ou pour les prévisions à long terme, elle devrait être combinée avec d'autres méthodes comme les enquêtes, les modèles économiques ou le jugement d'experts.

Analyse systématique des limites méthodologiques

Bien que la méthodologie de l'arbre en expansion du CME représente la norme de l'industrie pour l'extraction des anticipations de politique à partir des contrats à terme, elle comporte plusieurs limites structurelles qui restreignent son domaine d'applicabilité.

Limite 1 : Contrainte de branchement binaire

La restriction fondamentale à deux résultats par nœud de réunion crée des distorsions systématiques lorsqu'une masse de probabilité véritable est répartie sur trois scénarios ou plus.

Manifestation mathématique : Considérons une situation où les probabilités physiques sont :

$$P^{\mathbb{P}}(-25\text{bp}) = 0.30, \quad P^{\mathbb{P}}(0\text{bp}) = 0.40, \quad P^{\mathbb{P}}(+25\text{bp}) = 0.30$$

Le cadre binaire doit forcer l'ajustement en deux catégories, résultant en :

$$P^{\mathbb{Q}}(\text{outcome}_1) = 1 - m, \quad P^{\mathbb{Q}}(\text{outcome}_2) = m$$

où $m$ est la mantisse. Cela déforme nécessairement la distribution réelle, l'ampleur de la distorsion étant proportionnelle à la masse de probabilité sur le troisième résultat exclu.

Conséquences :

Sous-estimation du risque extrême lorsque les probabilités sont véritablement réparties
Concentration artificielle de la masse de probabilité sur les résultats modaux
Incapacité à représenter une incertitude symétrique (probabilités égales sur trois états)

Limite 2 : Contamination par la prime de risque

La méthodologie extrait des probabilités risque-neutres ($\mathbb{Q}$) mais la prévision de politique monétaire nécessite des probabilités physiques ($\mathbb{P}$). L'écart entre ces mesures provient des primes de risque :

$$\text{Futures Price}_t = E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Spot Rate}] = E^{\mathbb{P}}_t[\text{Spot Rate}] + \text{Risk Premium}_t$$

Ampleurs empiriques (Piazzesi & Swanson 2008) :

Prime de risque moyenne : 35 à 61 points de base par an
Composante variable dans le temps : contracyclique (plus élevée pendant les récessions)
Prévisibilité : corrélée avec la croissance de l'emploi, les écarts de rendement, les spreads de crédit

L'absence d'ajustement pour les primes de risque biaise systématiquement les probabilités :

$$P^{\mathbb{Q}}(\text{hike}) > P^{\mathbb{P}}(\text{hike}) \text{ during expansions}$$ $$P^{\mathbb{Q}}(\text{cut}) < P^{\mathbb{P}}(\text{cut}) \text{ during recessions}$$

Limite 3 : Violations de l'hypothèse de mouvements discrets

L'hypothèse d'incréments de 25 pb, bien qu'historiquement justifiée, échoue pendant les périodes de crise nécessitant une action politique agressive :

Épisode	Mouvements non standards	Impact méthodologique
Récession 2001-2002	Multiples baisses de 50 pb	L'arbre binaire s'adapte mais perd en élégance
Crise financière de 2008	Baisse de 100 pb (oct.), mouvements entre réunions	Hypothèse 5 violée ; probabilités instables
Crise COVID 2020	Baisse d'urgence de 150 pb (mars)	Extrêmement non standard ; la prévision basée sur les contrats à terme s'effondre
Lutte contre l'inflation 2022-2023	Quatre hausses consécutives de 75 pb	La structure arborescente s'adapte mais sous-estime les mouvements importants consécutifs

Limite 4 : Fiabilité dépendante de l'horizon

La performance des prévisions se détériore systématiquement avec l'horizon :

$$\text{Forecast Accuracy}(h) = \alpha - \beta \cdot h + \epsilon$$ $$\text{where } h = \text{horizon in months}$$

Facteurs de dégradation avec l'horizon :

Baisse de la liquidité : Les écarts entre offre et demande s'élargissent pour les contrats à plus long terme, réduisant l'efficience informationnelle
Incertitude macroéconomique : La variance conditionnelle des prévisions croît avec l'horizon à mesure que davantage de chocs se matérialisent
Risque de changement de régime : Les horizons plus longs augmentent la probabilité de ruptures structurelles dans la fonction de réaction de la politique
Confusion avec la prime de terme : Les contrats à plus long terme intègrent à la fois des anticipations et des primes de terme dans des proportions complexes et variables dans le temps

Performance comparative par horizon (Gurkaynak et al. 2007) :

1-3 mois : Les contrats à terme sur les fonds fédéraux sont optimaux, surpassant les enquêtes et les modèles
3-6 mois : Les contrats à terme sur les fonds fédéraux sont compétitifs par rapport à l'enquête auprès des spécialistes en valeurs du Trésor
6-12 mois : Les enquêtes surpassent généralement, les modèles fournissent des informations complémentaires
12+ mois : Les enquêtes et les modèles structurels sont préférés ; les contrats à terme sont peu fiables

Limite 5 : Absence de biais de statu quo ou d'apprentissage

La méthodologie de base du CME traite toutes les modifications de taux de manière symétrique et indépendante. Elle ne modélise pas :

Le gradualisme de la banque centrale : La préférence empiriquement documentée pour la continuité de politique (Rudebusch 2002)
La dépendance au chemin : La corrélation séquentielle dans les décisions de politique (probabilité d'une deuxième hausse après une première hausse)
Les effets de communication : L'impact de la forward guidance sur la modification des probabilités de décision
La dépendance aux données : Les mises à jour conditionnelles de probabilité basées sur les indicateurs économiques réalisés

Ces caractéristiques comportementales et institutionnelles peuvent être intégrées dans des cadres améliorés (comme discuté dans notre méthodologie), mais elles sont absentes de l'implémentation de base du CME.

Implications pratiques pour les utilisateurs

Bonnes pratiques recommandées :

Utilisation adaptée à l'horizon : Appuyez-vous sur les probabilités du CME pour les prévisions à 1-3 mois ; combinez-les avec des enquêtes pour les horizons plus longs
Conscience du régime : Faites preuve de prudence pendant les périodes de crise, les transitions de politique, ou lorsque des mouvements entre réunions deviennent probables
Validation croisée : Comparez les probabilités implicites des contrats à terme avec les mesures basées sur les OIS, les enquêtes et les prévisions des économistes
Ajustement de la prime de risque : Pour la prévision de politique monétaire (par opposition à la mesure des perceptions du marché), ajustez les primes de risque documentées en utilisant des modèles basés sur l'emploi et les spreads
Quantification de l'incertitude : Présentez des fourchettes de probabilité plutôt que des estimations ponctuelles ; reconnaissez les limites du modèle

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